系統的約化質量為

系統總質量為M=m1+m2，木星到太陽的位置矢量為

在上式中，質心被取為了坐標原點，矢量r1是太陽的位置矢量，矢量r2是木星的位置矢量。在此約定下，矢量r的運動方程為

在之前的物理直播課中，張朝陽已經推導過此方程，可以查看相關的直播回放了解。上式等號兩邊的μ可以被消掉。***設日木系統公轉角速度為ω，那么根據上式可以得到

或者將其寫為

通過這個式子，可以由日木距離得到公轉角速度。

(張朝陽介紹公轉角速度ω與太陽-木星距離a之間的關系)

通過勢的梯度檢驗L4位置的力為零

與拉格朗日點有關的問題是一種受限三體問題，其中第三個物體，其質量小到可以忽略，比如常見的宇航器，它的引力對太陽和木星的運動幾乎沒有影響。在這種小質量近似下，存在一些特殊的解，宇航器可以不費任何燃料地與太陽、木星保持相對靜止，宇航器不會因為受到太陽或者木星的引力作用而掉到其中一顆星球上。

在與太陽-木星系統保持靜止的旋轉參考系上，前述介紹的解就相當于靜止解，因此在相應的位置上靜止質點的受力應該為零。于是，拉格朗日點的求解就轉化成了受力平衡位置的求解。不過即便如此，L4與L5也不容易求得，需要一些技巧才行。為了避免受力分析的麻煩，再加上引力和慣性離心力都是保守力，可由勢能函數的梯度來描述。因此，張朝陽使用了勢能函數，這是一個標量函數，相比于力這種矢量來說可以少很多個分量，因此處理起來會更簡單。

對于任一位置矢量r（請不要與前一小節使用的太陽-木星的相對位置矢量混淆），定義如下兩個矢量：

換言之，r_s是從太陽到位置r的矢量，r_j是從木星到位置r的矢量，具體可以參看下圖。

在與太陽-木星系統保持靜止的旋轉參考系上，除了存在太陽、木星的引力勢以外，還存在旋轉所導致的慣性勢。***設宇航器具有單位質量，那么總勢為

其中，已經使用了前一小節最后得到的(1)式來替換掉了ω2。θ為矢量r與矢量r2的夾角，具體請參見前面介紹的示意圖。

（張朝陽介紹總勢能函數）

緊接著，張朝陽介紹力與勢的關系如下所示：

目前的問題可以看成是一個二維問題，在極坐標下有

先求徑向的力，這可以通過求勢能對r偏導數的負一倍得到：

正常來說，需要通過設方程Fr=0來求解問題，得到相應的拉格朗日點所滿足的方程。不過張朝陽使用了***設-檢驗法來求解，主要思路就是，***設某個點是拉格朗日點，然后檢驗其上的受力是否為零，如果為零，那么這個點確實是拉格朗日點。基于這一點，他***設在L4處，有r_s=r_j=a，換言之這一點與太陽、木星組成一個正三角形。

考慮到r1、r2與a的關系，可以得到

再結合r_s=r_j=a這個***設，可以得到

也就是說，在Fr的表達式中，與cos(θ)有關的部分正好互相抵消。而剩下的部分容易知道也等于零：

由此可見，在滿足r_s=r_j=a的位置上，徑向力確實等于零。

在得到徑向力為零之后，檢驗切向力為零就簡單得多了，這可以通過直接計算得到：

在上式的最后一步使用了前面得到的結論：m1*r1=m2*r2。

由于徑向力與切向力都為零，可見在滿足r_s=r_j=a的位置上，質點所受合力確實為零，因此這就是相應的拉格朗日點所在位置。張朝陽進一步強調，這個點并沒有處在木星的公轉軌道上，這是很多人的誤解。只有當太陽質量變得無窮大，太陽-木星系統的質心精確處于太陽中心時，L4點才精確地處于木星的公轉軌道上。

直播最后，張朝陽還求解了L2點的位置，感興趣的讀者可以查看本期直播課程的回放，也可以在《張朝陽的物理課》第二卷中找到相應的推導。

據了解，《張朝陽的物理課》于每周周日中午12時在搜狐***直播，網友可以在搜狐***APP“關注流”中搜索“張朝陽”，觀看直播及往期完整***回放；關注“張朝陽的物理課”賬號，查看課程中的“知識點”短***；此外，還可以在搜狐新聞APP的“搜狐科技”賬號上，閱覽每期物理課程的詳細文章。返回搜狐，查看更多